Pengukuran Penyimpangan

A.    Rentang (RANGE)

Nilai rentang ini menunjukkan selisih antara data yang paling tinggi dengan data yang paling rendah. Dengan melihat ukuran ini maka dapat diketahui gambaran secara kasar tentang variasi suatu distribusi data. Nilai range ini sangat kasar, karena tidak mempertimbangkan nilai-nilai yang lain selain nilai ekstrimnya. Adapun rumusnya adalah sebagai berikut:

                  Range = Max - Min

Contoh:

Pada data Tabel satu diperoleh range pada masing masing mata kuliah adalah:

Matakuliah	Max – min	range
A	50 - 50	0
B	75 – 30	45
C	85 – 30	55

 Maka secara kasar dapat disimpulkan bahwa sebaran nilai pada matakuliah C paling bervariasi dibandingkan dengan nilai mata kuliah A dan B. Nilai range sama dengan 0 pada matakuliah A menunjukkan bahwa distribusi nilai A adalah homogen. Semakin besar nilai rentang maka distribusi data semakin bervariasi.

1.       Rentang Antarkuartil

yaitu bilangan yang diperoleh dari selisih antara kuartil ketiga dengan kuartil pertama. Secara simbolis RAK dinyatakan sebagai

RAK = K3 – K1

Rumus tersebut dapat diterapkan untuk data terurai maupun data terklasifikasi.

2.       Rentang semi antarkuartil

Rentang semi antar kuartil (RSAK) juga mempertimbangkan nilai kuartil pertama dan nilai kuartil ketiga. Nilai RSAK didapatkan dengan mengurangkan nilai kuartil pertama dan nilai kuartil ketiga selanjutnya selisih antara keduanya dibagi dua. Dengan kata lain,RSAK adalah rerata atas nilai kuartil pertama dan nilai kuartil ketiga. Sehingga dapat dirumuskan :

            RSAK = (K3 – K1)

                                 2

Rumusan tersebut dapat diterapkan untuk data terurai maupun untuk data terklasifikasi.

B.    DEVIASI

1.                    Deviasi Rata-rata (Average Deviation)

Deviasi rata-rata adalah penjumlahan dari deviasi masing-masing data yang diteliti dengan nilai rata-ratanya dibagi dengan jumlah data.

                               ∑ ( x_i – x )

Deviasi rata-rata = ---------------

                                    n

Kelemahan deviasi rata-rata adalah jika nilai deviasi yang bertanda negatif sama besar dengan nilai deviasi yang bertanda positif, maka deviasi rata-rata yang merupakan penjumlahan akan sama dengan nol.

2.                    Deviasi Absolut Rata-rata (Mean Absolute Deviation)

Deviasi ini menghitung deviasi rata-rata dengan mengabaikan tanda positif atau negatif pada nilai deviasi setiap data yang diteliti dan hanya menggunakan nilai absolut untuk masing-masing deviasi.

                                            ∑│ x_i – x │

Deviasi absolut rata-rata = ---------------

                                                  n

3.                    Deviasi Kuadrat Rata-rata (Mean Squared Deviation)

Cara lain yang digunakan untuk menghilangkan tanda positif atau negatif pada masing-masing deviasi, selain dengan deviasi rata-rata absolut, adalah dengan mengkuadratkan masing-masing deviasi.

                                ∑ ( x_i – x )²

Deviasi rata-rata = ---------------

                                      n

4.               Deviasi Relatif

Ukuran deviasi relatif memberikan kemudahan apabila hendak diperbandingkan antara satu set data dengan satu set data yang lain.dimensi relatif mensyaratkan perbandingan antara deviasi standar dengan rerata. Ukuran ini disebut koefisien variasi.koefisien variasi yang semakin tinggi menunjukkan persebaran data yang semakin besar atas nilai sentralnya. Sebaliknya koefisien variasi yang semakin rendah menunjukkan tingkat persebaran data yang semakin kecil terhadap nilai sentralnya

            Berikut ini adalah rumus nya :

 

KVK = (K3 – K1) / 2   x 100 %

                 Md

C.  VARIANS DAN DEVIASI STANDAR

Varians dan deviasi standar merupakan dua ukuran penyimpangan yang berhubungan erat. Keeratan hubungan antara keduanya dapat dirunut dari cara memperolehnya. Deviasi standar didapatkan dengan cara mengakar pangkat dua atas nilai varians.

1.       Varian (variance)

Varians adalah salah satu ukuran dispersi atau ukuran variasi.  Varians dapat menggambarkan bagaimana berpencarnya suatu data kuantitatif.  Varians diberi simbol  σ² (baca: sigma kuadrat) untuk populasi dan untuk s² sampel.  Selanjutnya kita akan menggunakan simbol s²  untuk varians karena umumnya kita hampir selalu berkutat dengan sampel dan jarang sekali berkecimpung dengan populasi.

Nilai rata-rata dari deviasi yang dikuadratkan tersebut bermanfaat untuk mengukur variabilitas sampel. Penghitungan nilai rata-rata tersebut dalam kaitannya dengan proses inferensi akan cenderung menghasilkan estimasi yang lebih rendah terhadap parameter populasinya, karena menggunakan jumlah data (n) sebagai pembagi dari jumlah deviasi yang dikuadratkan. Untuk mengeliminasi masalah estimasi tersebut, pernghitungan nilai rata-rata deviasi yang dikuadratkan dibagi dengan (n-1).

Untuk data yang sudah ditabulasi, perhitungan varians sedikit berbeda. Berikut ini langkahnya :

·         Nilai tengah untuk masing masing kelas (Mid) diterapkan terlebih dahulu

·         Kurangkan nilai nilai tengah di tiap kelas dengan nilai rerata aritmatika

·         Kuadratkan hasil pengurangan tersebut

·         Hasil langkah ketiga dikalikan dengan frekuensi pada tiap tiap kelas

·         Jumlahkan hasil langkah keempat secara vertikal kebawah

·         Bagi hasil penjumlahan dengan jumlah frekuensi

Rumus Varians untuk data terurai :

1.      Sampel

  

                    

         Keterangan  :
s = rata-rata sample
n = jumlah sampel yang digunakan

2.Populasi

 

      Keterangan:

µ  = rata-rata populasi
                                          N = total jumlah populasi

Rumus Varians data kelompok

 

1.      Deviasi Standar (Standard Deviation)

Varian mengukur dispersi dengan nilai yang dikuadratkan.

Penggunaan kudrat sebagai ukuran mempunyai kelemahan, yaitu :

• Semakin besar nilai deviasi masing-masing data yang diteliti dari rata-ratanya, maka nilai variannya juga semakin besar.
• Jika data yang diteliti berupa satuan uang (Rupiah), maka variannya dalam bentuk rupiah yang dikuadratkan.

Untuk mengembalikan ukuran dispersi menjadi ukuran (semula) yang sama dengan ukuran data yang diteliti, dihitung nilai akar dari varian yang selanjutnya disebut dengan deviasi standar (s).

Berikut contoh perhitungan dispersi :

n = 9, x = 30
x	( xi – x )	│ xi – x │	( xi – x )2
40	10	10	100
10	-20	20	400
20	-10	10	100
40	10	10	100
35	5	5	25
25	-5	5	25
15	-15	15	225
40	10	10	100
45	15	15	225
∑	0	100	1.300

Berdasarkan data diatas, pengukuran tendensi sentral dan dispersi adalah sebagai berikut :

• Deviasi rata-rata                                  = 0
• Deviasi absolut rata-rata                      = 100/9 = 11,11
• Deviasi kuadrat rata-rata                     = 1.300/9 = 144,44
• Varian                                                 = 1.300/8 = 162,50
• Deviasi standar                                   = 12,75