A.
Quartile
Satu himpunan data dapat diketahui
letak kuartilnya apabila data telah diurutkan. Pengurutannya boleh dari yang
terkecil menuju yang terbesar atau sebaliknya. Secara umum, untuk mengetahui
nilai kuartil, letak kuartil perlu ditentukkan terlebih dahulu. Apabila sudah
diketahui,pencarian kuartil menjadi lebih mudah dilakukan. Pencarian letak dan
nilai kuartil berbeda-beda pada data terurai dan data terklasifikasi.
Fungsi kuartil untuk
menentukan nilai batas tiap 25 persen dalam distribusi yang dipersoalkan.
Oleh sebab itu teknik ini diterapkan jika analisis dilakukan dengan tujuan
untuk membagi distribusi menjadi 4 bagian, selanjutnya menentukan batas tiap 25
persen distribusi yang dimaksud.
Kuartil terbentuk ada tiga buah
sebagai nilai batas antara perempat bagian pertama dan kedua, kedua dan ketiga,
serta ketiga dan keempat.
ž Kuartil
pertama (K1) adalah suatu nilai yang membatasi 25% distribusi
bagian bawah dan 75 % distribusi bagian atas.
ž Kuartil
kedua (K2) adalah nilai yang membatasi 50% distribusi bagian
bawah dan 50% distribusi bagian atas. Dalam hal ini kuartil kedua dapat
diidentikkan dengan pengukuran median (Mdn).
ž Kuartil
ketiga (K3) adalah nilai yang membatasi 75% distribusi bagian
bawah dan 25% distribusi bagian atas.
Asumsi teknik pengukuran kuartil : data yang diperoleh dari
hasil pengukuran dalam bentuk numerik (angka) dan lazimnya setingkat skala
interval.
Rumus kuartil
·
Untuk Data
terurai
·
Untuk Data
Berkelompok
B.
Desil
Jika sekelompok data dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama, maka
didapat Sembilan (9) pembagi, masing masing disebut desil atau disingkat D
yaitu D1,D2, D3,….D9
Nilai desil ke –I, yaitu Di
ditentukan dengan rumus sbb :
·
Desil Untuk data Terurai
·
Desil Untuk data berkelompok
C.Presentil
Jika
sekelompok data dibagi menjadi 100 (seratus) bagian yang sama banyaknya, .maka
akan terdapat 99 pembagi yang masing masing disebut persentil (P) yaitu P1, P2, P3, …,P99
Nilai Persentil
ke-I, yaitu Pi dihitung
dengan rumus berikut.
·
Presentil Untuk data terurai
i ( n +
1)
Pi = nilai yang ke -
--------------- , i = 1,2,3, ….., 99
100
·
Presentil Untuk data berkelompok
( (in / 100) – F
Pi =
Lo + C x ( ---------------------- ) dimana i = 1,2,3….99
f
dimana
:
Lo = Batas Bawah Kelas Persentil P1
C = Lebar Kelas
F = Jumlah Frekuensi semua kelas sebelum
kelas Persentil P1
f = Frekuensi Kelas Persentil P1
Contoh Soal :
1.
Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di)
Data Tidak Berkelompok
Tentukan
Kuartil, Desil dan Persentil dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan
rupiah ) berikut ini 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.
Jawab
:
Urutan
Data : 30, 35,
40, 45, 50,
55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100
Jumlah
data ( n ) = 13
KUARTIL
DATA TIDAK BERKELOMPOK
Qi =
Nilai yang ke -i (n+1)
4
Q1 =
Nilai yang ke -1 (13 + 1) = nilai ke 14 = nilai ke 3.5
4 4
Q1 =
Nilai yang ke -3 dan nilai ke - 4
Q1 =
Nilai yang ke -3 + 0.5 x (nilai ke-4 - nilai ke-3)
Q1
= 40
+ 0.5 x (45 - 40) = 42,5
-------------
Q2 =
Nilai yang ke -2 (13 + 1) = nilai ke 28 = nilai ke 7 = 60
4 4
-------------
Q3 =
Nilai yang ke -3 (13 + 1) = nilai ke 42 = nilai ke 10,5
4 4
Q3 =
Nilai yang ke -10 + 0.5 x (nilai ke-11 -
nilai ke-10)
Q3
= 80
+ 0.5 x (85 - 80) = 82,5
--------------
DESIL DATA TIDAK BERKELOMPOK
i ( n + 1)
Di = nilai yang ke - ---------------
, i = 1,2,3, ….., 9
10
D3 =
Nilai yang ke -3 (13 + 1) = nilai ke 42 = nilai ke 4 1/5
10 10
D3 =
Nilai yang ke -4 + (1/5) x (nilai ke-5 -
nilai ke-4)
D3
= 45
+ (1/5) x (50 - 45) = 46
-----------------
D7 =
Nilai yang ke -7 (13 + 1) = nilai ke 98 = nilai ke 9 8/10
10 10
D7 =
Nilai yang ke -9 + (8/10) x (nilai ke-10 -
nilai ke-9)
D7
= 70
+ (8/10) x (80 - 70) = 78
------------------
PERSENTIL
DATA TIDAK BERKELOMPOK
i ( n +
1)
Pi
= nilai yang ke - --------------- , i
= 1,2,3, ….., 99
100
i ( 13 +
1)
Pi
= nilai yang ke - --------------- , i
= 1,2,3, ….., 99
100
P7 =
Nilai yang ke -7 (13 + 1) = nilai ke 98 = nilai ke 9 8/100
100 100
P7 =
Nilai yang ke -9 + (8/100) x (nilai ke-10 -
nilai ke-9)
P7 =
70 + (8/100) x (80 - 70) = 70,8
P3 =
Nilai yang ke -3 (13 + 1) = nilai ke 42 = nilai ke 4 1/50
100 100
P3 =
Nilai yang ke -4 + (1/50) x (nilai ke-5 -
nilai ke-4)
P3
= 45
+ (1/50) x (50 - 45) = 45,1
2.
Soal Perhitungan Kuartil (Qi), Desil (Di), Persentil (Di)
Data Berkelompok
Tentukan
Kuartil, Desil dan Persentil dari Modal (dalam jutaan rupiah) dari 40
perusahaan yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi berikut ini :
Modal
|
Nilai Tengah (X)
|
Frekuensi ( f )
|
f . X
|
112 - 120
|
116
|
4
|
464
|
121 – 129
|
125
|
5
|
652
|
130 – 138
|
134
|
8
|
1072
|
139 – 147
|
143
|
12
|
1716
|
148 - 156
|
152
|
5
|
760
|
157 - 165
|
161
|
4
|
644
|
166 - 174
|
170
|
2
|
340
|
∑ f = 40
|
∑ f . X = 5621
|
Jawab
:
Tentukan
dulu kelas interval Q1, Q2, dan Q3
Q1
membagi data menjadi 25% ke bawah dan 75% ke atas
Q2
membagi data menjadi 50% ke bawah dan 50% ke atas
Q3
membagi data menjadi 75% ke bawah dan 25% ke atas
Karena
n = 40 maka :
Q1 terletak pada kelas 130 – 138
Q2 terletak pada kelas 139 – 147
Q3 terletak pada kelas 148 – 156
KUARTIL
DATA BERKELOMPOK
( (in / 4) – F
Qi =
Lo + C x ( ------------------ )
f
Untuk Q1 , maka Lo =
129,5 F = 4 + 5 = 9 C = 9
dan f = 9 sehingga diperoleh :
( (40 / 4) – 9
Qi =
129,5 + 9 x ( ------------------ )
8
( 10 – 9
Qi =
129,5 + 9 x ( ----------- )
8
Qi =
130,625
Untuk Q2 , maka Lo =
138,5 F = 4 + 5 + 8 = 17 C = 9
dan f = 12 sehingga diperoleh :
( (80 / 4) – 17
Q2 =
138,5 + 9 x ( ------------------ )
12
( 20 – 17
Q2 =
138,5 + 9 x ( ------------- )
12
Q2 =
140,75
-------------------------------------------
Untuk Q3 , maka Lo =
147,5 F = 29 C = 9
dan f = 5 sehingga diperoleh :
( (120 / 4) – 29
Q3 =
147,5 + 9 x ( ------------------ )
5
( 30 – 29
Q3 =
129,5 + 9 x ( ------------- )
5
Q3 =
149,3
--------------------------------------------
DESIL DATA BERKELOMPOK
( (in / 10) – F
Di =
Lo + C x ( ------------------ ) dimana i = 1,2,3
f
Kita tentukan Kelas D3 dan D7,
D3 membagi data 30% ke bawah dan 70% keatas
D7 membagi data 70% ke bawah dan 30% keatas
sehingga D3 berada pada kelas 130 – 138 dan D7 berada pada
kelas 139 – 147
( (3x40) /
10) – 9 ) 12 - 9
D3 = 129,5 +
9 x ( ------------------------ ) = 129,5 + 9 (-----------) = 132,875
8 8
( (7x40) /
10) – 17 ) 28
- 17
D7 = 139,5 +
9 x ( -------------------------- ) = 138,5 + 9 (-----------) = 146,75
8 12
PERSENTIL
DATA BERKELOMPOK
( (in / 100) – F
Pi =
Lo + C x ( ---------------------- ) dimana i = 1,2,3….99
f
ambil persentil pada 75
(75 x 40)
Letak P75
= -------------- = 30
100
Berarti masuk kelas ke V
(148 – 156) didapatkan dari jumlah frekwesi tiap kelas
sampai mencapai 30 yaitu (4
+ 5 + 8 + 12 + 5 = 34)
Untuk P75 , maka
Lo = 147,5 F = 4 + 5 + 8 + 12 = 29 C = 9
dan f = 5
sehingga diperoleh :
( (75 x 40 / 100) – 29)
Pi =
147,5 + 9 x ( ----------------------------- ) = 149.3
5
D.
Nilai
Rata-rata Ukur (Geometric Mean)
Nilai rata-rata ukur dari sekelompok bilangan ialah hasil perkalian
bilangan tersebut, diakar pangkatkan sebanyaknya bilangan itu sendiri. Rata
rata ukur dipakai untuk menggambarkan keseluruhan data khususnya bila data
tersebut mempunyai ciri tertentu yaitu banyaknya nilai data yang satu
sama lain saling berkelipatan sehingga perbandingan tiap dua data yang
berurutan tetap atau hampir tetap. Bila suatu kelompok data mempunyai ciri
seperti ini maka rata rata ukur akan lebih baik dari pada rata rata hitung.
Cara menghitung
nilai rata-rata ukur:
Rata rata
ukur G dari kelompok data Xi , X2 , X3 , …Xn
didefinisikan sebagai berikut
·
Untuk Data Tidak Berkelompok
n
G
= √ ( X1, X2, X3….Xn
)
Untuk Data yang Kecil
( ∑ log X )
G = antilog (
------------------- ) Untuk Data yang Besar
∑ n
·
Untuk Data Berkelompok
( ∑ f
. log X )
G = antilog (
------------------- )
∑ f
Contoh:
Tentukan rata rata ukur (GEOMETRIC MEAN) data 2, 4, 8
Jawab :
n = 3
Log 2 = 0,3010
Log 4 = 0,6021
Log 8 = 0,9031
Maka Log 2 + Log 4 + Log 8
= 0,3010 + 0,6021 + 0,9031 = 1,8062
( ∑ log X )
G = antilog (
-------------------
)
∑ n
( Log 2 + Log
4 + Log 8 )
G = antilog (
-------------------------------------
)
3
(
1,8062 )
G = antilog (
------------------ ) = antilog 0,6021 = 4
3
2. Nilai
rata-rata Harmonik (harmonic mean)
Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2,
…, xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean).
Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut:
·
Untuk Data Tidak Berkelompok
n
Rh = ----------
∑ (1 / x )
·
Untuk Data Berkelompok
f
Rh = --------
∑ ( f / x )
Secara umum,
rata-rata harmonic jarang digunakan. Rata-rata ini hanya digunakan untuk data
yang bersifat khusus. Misalnya,rata-rata harmonik sering digunakan sebagai
ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju
perubahan, seperti kecepatan.
Contoh:
Nyonya Lukman
melakukan perjalanan dari Bandung ke Sidoarjo pulang
pergi, Dalam perjalanan tersebut naik kereta api.
Bertolak dari Bandung ke Sidoarjo berkecepatan 90 km/jam, tetapi waktu pulang
mampir dulu ke yagyakarta dengan kecepatan 70 km/jam, kemudian hari berikutnya
dilanjutkan lagi perjalanan menuju Bandung dengan kecepatan 80 km/jam,
berapakah kecepatan rata rata perjalan nyonya Lukman
Jawab :
Kecepatan Pertama X1 = 90 km / jam
Kecepatan Kedua (X2) = 70 km / jam
Kecepatan Kedua (X2) = 80 km / jam
n = 3
n
3
Rh
= ------------ = ---------------------------------------------
∑ (1 / x ) ( 1 / 90 ) + ( 1 / 70 ) + ( 1 /
80 )
n
3
Rh
= ------------ =
------------------------------------------------------------------------
∑
(1 / x ) ( 0.011 km / jam) + ( 1.0143 km / jam) + ( 0.01254
km/jam
Rh
= 3 : 0,0379 km / jam = 79.155 km/jam
Sumber:
http://fisikaiain2010.blogspot.com/2012/06/kelompok-6-statistik.html
